【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,,.是棱的中点.
(1)求证:面;
(2)求二面角的正弦值;
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取SC的中点N,连接MN,DN,根据中位线定理可知,,即可证明为平行四边形,可得,从而由线面平行的判定定理可证明面;
(2)由题意可以点为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可由空间向量法求得二面角的余弦值,再根据同角三角函数关系式转化为二面角的正弦值即可;
(1)证明:取SC的中点N,连接MN,DN,因为M,N分别为SB,SC的中点,
所以,,
又,
所以,,
故四边形为平行四边形,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2)四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,如下图所示:
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量是,则,即,
令,则,,.
设平面的法向量为,则,即,
令,则,,,
设二面角的平面角大小为,
则,即.
二面角的正弦值为.
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【题目】如图所示,在底面是菱形的四棱锥中,,点E在PD上,且.
(1)证明:平面ABCD;
(2)求二面角的大小;
(3)棱PC上是否存在一点F,使平面AEC?证明你的结论.
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【题目】已知椭圆的离心率为,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】已知双曲线(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
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【题目】阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )
A.B.C.D.
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