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已知函数f（x）=2 $数学公式$ sinxcosx+2cos²x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0， $数学公式$ ]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

解：（I）∵sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x，cos²x= $\text{[math]}$ （1+cos2x）
∴f（x）=2 $\text{[math]}$ sinxcosx+2cos²x-t= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos $\text{[math]}$ +cos2xsin $\text{[math]}$ ）+1-t=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1-t
当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，可得- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1
∴方程f（x）=0有解，即 $\text{[math]}$ ，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1-t=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-2
可得f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）-2=-1，sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵A是三角形的内角，∴A= $\text{[math]}$
根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos $\text{[math]}$ =（b+c）²-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（ $\text{[math]}$ ）²=1
∴a²=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3=2²-3=1
即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．
分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1-t，结合正弦函数图象与性质，根据f（x）=0在x∈[0， $\text{[math]}$ ]上有解建立关于t的不等式组，解之即可得到实数t的取值范围；
（II）由（I）得到f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）-2=-1，结合A是三角形的内角解出A= $\text{[math]}$ ．结合余弦定理得a²关于b、c的式子，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．
点评：本题给出三角函数式，探索方程f（x）=0在x∈[0， $\text{[math]}$ ]上有解时t的取值范围，并依此求三角形的边长的最小值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．

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