Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，数列{b_n}是各项为正数的数列，且b₁=2，点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

解：（1）根据题意：

a_n=3n+1
log₂b_n+1=log₂b_n+1
b_n+1=2b_n+1
q=2
b_n=2ⁿ
（2）c_n=（3n+1）2ⁿ
s_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=42¹+72²+…+（3n+1）2ⁿ①
2s_n=42²+72³+…+（3n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得：-s_n=2³+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=32ⁿ⁺¹-4-（3n+1）2ⁿ⁺¹
分析：（1）由“数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16”，建立首项和公差的方程组，再由通项公式求通项；由“数列{b_n}是各项为正数的数列，且b₁=2，点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1”求得公比，再由通项公式求通项；（2）由（1）得到数列{c_n}，根据其特点，是一个等差数列与等比数列相应项积的形式，选择错位相减法求解．
点评：本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了错位相减法求数列的前n项和，属常规题，应熟练掌握．