Question

（2012•安徽模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)的右顶点为A，上顶点为B，直线y=t与椭圆交于不同的两点E，F，若D（x，y）是以EF为直径的圆上的点，当t变化时，D点的纵坐标y的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，

2

)且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

y=t x2+a2y2=a2

，得x²=a²（1-t²），-1＜t＜1，故r=

|EF|

2

=a

1-t2

，圆心为（0，t），由此能求出椭圆C的方程．
（2）l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞

3

3

，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点M(

x

0

，y0)．由此能够推导出不存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线．

解答：解：（1）由

y=t x2+a2y2=a2

，得x²=a²（1-t²），-1＜t＜1，
∴r=

|EF|

2

=a

1-t2

，圆心为（0，t），
以EF为直径的圆的方程为：x²+（y-t）²=a²（1-t²）⇒y≤t+a

1-t2

（当x=0时取等）
令t=cosθ（θ∈（0，π））⇒y≤cosθ+asinθ=

a2+1

sin(θ+?)，
依题

a2+1

=2⇒a2=3，
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）l：y=kx+

2

，
由

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，
消去y：(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞

3

3

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点M(

x

0

，y0)．
由点差法：x12-x22=-3(y12-y22)⇒

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

-3(y1+y2)

，
即k=

x0

-3y0

⇒x0=-3ky0①
M在直线l上⇒y0=kx0+

2

 ②
又A(

3

，0)，B(0，1)⇒

AB

=(-

3

，1)，
而

OP

+

OQ

与

AB

共线，可得

OM

∥

AB

⇒x0=-

3

y0，③，
由①②③得k=

3

3

，（12分）
这与|k|＞

3

3

矛盾，故不存在k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线．（13分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．