【题目】已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上, 的中心和的顶点均为原点,从, 上分别取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 | -2 | 4 | ||
0 | -4 |
(1)求的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求实数的取值范围.
【答案】(1) : .;(2) .
【解析】试题分析:(1)先分析出点, 在抛物线上,点, 在椭圆上,利用待定系数法可得到的标准方程;(2)设, ,将代入椭圆方程,消去得,利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段的垂直平分线的方程为,由点在直线上,得,结合判别式大于零可得实数的取值范围.
试题解析::(1)设抛物线,则有,据此验证4个点知, 在抛物线上,易求.
设,把点, 代入得:
,解得,所以的方程为.
(2)设, ,将代入椭圆方程,消去得,
所以,即.①
由根与系数关系得,则,
所以线段的中点的坐标为.
又线段的垂直平分线的方程为,
由点在直线上,得,
即,所以,
由①得,所以,即或,
所以实数的取值范围是.
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【题目】已知函数.
(1)若函数的最小值是,且c=1,,求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
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【题目】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:
(Ⅰ)请填写下表(写出计算过程):
(Ⅱ)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析;
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)
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【题目】已知函数的定义域为,且对任意的有. 当时,,.
(1)求并证明的奇偶性;
(2)判断的单调性并证明;
(3)求;若对任意恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,是一个半圆柱与多面体构成的几何体,平面与半圆柱的下底面共面,且, 为弧上(不与重合)的动点.
(1)证明: 平面;
(2)若四边形为正方形,且, ,求二面角的余弦值.
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【题目】如图,从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形,并将截得的两块矩形铁皮分别以,为母线卷成两个高均为的圆柱(无底面,连接部分材料损失忽略不计).记这两个圆柱的体积之和为.
(1)将表示成的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)求两个圆柱体积之和的最大值.
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【题目】如图,正方形中, , 与交于点,现将沿折起得到三棱锥, , 分别是, 的中点.
(1)求证: ;
(2)若三棱锥的最大体积为,当三棱锥的体积为,且为锐角时,求三棱锥的体积.
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【题目】(12分)已知函数f(x)=
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
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