【题目】过 做抛物线
的两条切线,切点分别为
,
.若
.
(1)求抛物线 的方程;
(2) ,
,过
任做一直线交抛物线
于
,
两点,当
也变化时,求
的最小值.
【答案】
(1)解:由抛物线的对称性, ,
∴ ,∴
∴
.
∴
.
∴
(2)解:设
∴ ,
.
,设
,
,
,
,
∴ 时,
(
)
【解析】(1)根据题意结合已知条件可得出∠ A M B = 900由抛物线的对称性可求出 K MA= 1进而求出直线的方程与抛物线的方程,再联立以上两个方程消去x得到关于y的一元二次方程,利用相切的性质可得到Δ=0即可计算出p的值。(2)首先设出PQ的方程再联立抛物线的方程消元得到关于y的一元二次方程,结合二次函数图像的性质可得到 t ≥ 1, 再由韦达定理求出y1+y2=4my y1y2=4t ,代入到弦长公式中再利用二次函数在指定区间上的最值情况即可得到弦长的最小值。
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【题目】某企业生产甲,乙两种产品均需用两种原料,已知生产1吨每种产品需用
原料及每天原料的可用限额如下表所示,如果生产1吨甲,乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业可获得最大利润为__________万元.
甲 | 乙 | 原料限额 | |
A(吨) | 3 | 2 | 12 |
B(吨) | 1 | 2 | 8 |
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【题目】已知函数f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果对于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若x∈[﹣ ,
],过点M(
,0)作函数f(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和.
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【题目】已知圆过圆
与直线
的交点,且圆
上任意一点关于直线
的对称点仍在圆
上.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与
轴正半轴的交点为
,直线
与圆
交于
两点(异于点
),且点
满足
,
,求直线
的方程.
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【题目】已知抛物线 的焦点为
,
是抛物线上横坐标为4,且位于
轴上方的点,
到抛物线准线的距离等于5,过
作
垂直于
轴,垂足为
,
的中点为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过 作
,垂足为
,求点
的坐标.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a≠0时,过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线l1 , l2 , 已知两切线的斜率互为倒数,证明: <a<
;
(3)设h(x)=f(x+1)+g(x),当x≥0,h(x)≥1时,求实数a的取值范围.
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【题目】下列四个命题:(1)已知向量 是空间的一组基底,则向量
也是空间的一组基底;(2) 在正方体
中,若点
在
内,且
,则
的值为1;(3) 圆
上到直线
的距离等于1的点有2个;(4)方程
表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是.
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)试估计平均收益率;
(Ⅱ)根据经验,若每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量
(万份)与
(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据:
据此计算出的回归方程为.
(i)求参数的估计值;
(ii)若把回归方程当作
与
的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益.
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