Question

（2012•许昌一模）设x，y满足

x-ay≤2 x-y≥-1 2x+y≥4

时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a＜1
• B．-

  1

  2

  ＜a＜1
• C．0≤a＜1
• D．a＜0

Answer 1

分析：画出约束条件表示的可行域，利用z=x+y既有最大值也有最小值，利用直线的斜率求出a的范围．

解答：解：满足

x-y≥-1 2x+y≥4

的平面区域如下图所示：
而x-ay≤2表示直线x-ay=2左侧的平面区域
∵直线x-ay=2恒过（2，0）点，
当a=0时，可行域是三角形，z=x+y既有最大值也有最小值，
满足题意；
当直线x-ay=2的斜率

1

a

满足：

1

a

＞1或

1

a

＜-2，即-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1时，可行域是封闭的，z=x+y既有最大值也有最小值，
综上所述实数a的取值范围是：-

1

2

＜a＜1．
故选B．

点评：本题简单线性规划的应用，直线的斜率，目标函数的最值的求法是解题的关键，考查数形结合与计算能力．