Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆，抛物线的焦点是的一个顶点，设是上的动点，且位于第一象限，记在点处的切线为.

（1）求的值和切线的方程（用表示）

（2）设与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.

（i）求证：点在定直线上;

（ii）设与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），切线方程为（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）的最大值为

【解析】

（1）根据椭圆的方程可求出过的定点，按照抛物线的标准方程即可求出的值；利用在点处的导数可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程.（2）（i）利用点差法求出，写出直线OD的方程，代入，可求出为定值，即可证明. （ii）中，为底，点的横坐标为高，用表示三角形的面积，中，为底，到的距离为高，依然用表示三角形的面积，换元求最值即可.

解：（I）由题意可得，，所以抛物线的焦点F为，则，.

直线的斜率为，所以切线方程，利用化简可得：.

（2）（i）证明：设，

由点差法可得，，即有，

直线OD的方程为，当时，可得即有点M在定直线上；（ii）直线l的方程为，令，可得，

则，

则令，

则

当，即时，取得最大值