【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
,抛物线
的焦点
是
的一个顶点,设
是
上的动点,且位于第一象限,记
在点
处的切线为
.
(1)求的值和切线
的方程(用
表示)
(2)设与
交于不同的两点
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)设与
轴交于点
,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
【答案】(1),切线
方程为
(2)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)
的最大值为
【解析】
(1)根据椭圆的方程可求出过的定点,按照抛物线的标准方程即可求出的值;利用在点
处的导数可求出直线的斜率,利用点斜式即可求出直线方程.(2)(i)利用点差法求出
,写出直线OD的方程,代入
,可求出
为定值,即可证明. (ii)
中,
为底,
点的横坐标为高,用
表示三角形的面积,
中,
为底,
到
的距离为高,依然用
表示三角形的面积,换元求最值即可.
解:(I)由题意可得,
,所以抛物线的焦点F为
,则
,
.
直线的斜率为
,所以切线方程
,利用
化简可得:
.
(2)(i)证明:设,
由点差法可得,
,即有
,
直线OD的方程为,当
时,可得
即有点M在定直线
上;(ii)直线l的方程为
,令
,可得
,
则,
则令
,
则
当,即
时,
取得最大值
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【题目】某中学高三(2)班甲、乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图,下列说法正确的是( )
A.乙同学比甲同学发挥的稳定,且平均成绩也比甲同学高
B.乙同学比甲同学发挥的稳定,但平均成绩不如甲同学高
C.甲同学比乙同学发挥的稳定,且平均成绩也比乙同学高
D.甲同学比乙同学发挥的稳定,但平均成绩不如乙同学高
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+12an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
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【题目】已知焦点在x轴上的椭圆C1的长轴长为8,短半轴为2,抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点.
(1)求抛物线C2的标准方程;
(2)过(1,0)的两条相互垂直的直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的面积的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,过点
的直线与抛物线
相交于
,
两点,弦
的中点
的轨迹记为
.
(1)求的方程;
(2)已知直线与
相交于
,
两点.
(i)求的取值范围;
(ii)轴上是否存在点
,使得当
变动时,总有
?说明理由.
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【题目】为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的平均气温的标准差;
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的平均气温的标准差,
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【题目】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).
(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;
(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.
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【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
(1)判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?
(2)已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中,有3位还比较喜欢“自然景观”景点,现在从20岁到40岁的10位市民中,选出3名,记选出喜欢“自然景观”景点的人数为,求
的分布列、数学期望.
(参考公式:,其中
)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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