Question

已知函数f（x）=（cosωx+sinωx）（cosωx-sinωx）+2

3

sinωx•cosωx+t（ω＞0），若f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为

3π

2

，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1．
（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式对函数解析式进行整理得到f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)+t；再结合图象上相邻两条对称轴之间的距离为

3π

2

，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最大值为1求出ω，t即可求出函数f（x）的表达式；
（2）先根据f（C）=1求出角C；再结合2sin²B=cosB+cos（A-C），把B用A表示出来，即可求出sinA的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2ωx-sin2ωx+

3

sin2ωx+t
=cos2ωx+

3

sin2ωx+t
=2sin(2ωx+

π

6

)+t（4分）
由题意有

T

2

=

3π

2

∴T=3π=

2π

2ω

∴ω=

1

3

（5分）
∵0≤x≤π∴

π

6

≤

2x

3

+

π

6

≤

5π

6

∴f（x）_max=2+t=1
∴t=-1（16分）
∴f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1（7分）
（2）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1
∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1
又 0＜C＜π∴

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

∴C=

π

2

（9分）
∴B=

π

2

-A
∴原方程可化为2cos²A=sinA+sinA
即sin²A+sinA-1=0
解得sinA=

-1± 5

2

∵0＜sinA＜1
∴sinA=

5 -1

2

（12分）

点评：本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+∅）的图象确定函数的解析式，解决这类问题的关键在于根据函数的图象分析出函数的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊点．