Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=x²-2ax+a²-1
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a²-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的图象上，∴2=

1

3

-a+a²-1+b
又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1，∴a²-2a+1=0
∴a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

∴f′（x）=x²-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2是f（x）的极值点
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8