Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)，设f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，
（ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（ⅱ）若函数h（x）=g（x）-λf（x）+1在区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用向量数量积的坐标表示整理可得f（x）=sin²x+2sinx；
（II）（i）设函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀）关于原点对称点N，然后将点M代入解析式即可．
（ii）先求出函数h（x）的解析式，然后设sinx=t，从而可知?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），再由λ＜-1时和当λ＞-1时求出范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2+sinx-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（4分）
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀）关于原点的对称点为N（x，y）
则x₀=-x，y₀=-y，…．（5分）
∵点M在函数y=f（x）的图象上∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即∴y=-sin²x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin²x+2sinx     …（7分）
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，（-1≤t≤1）…（9分）
则有?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）
当λ=-1时，?（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1  …（11分）
当λ≠-1时，对称轴方程为直线t=

1-λ

1+λ

．
ⅰ） λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0
综上：λ≤0．∴实数λ的取值范围为（-∞，0]…（14分）

点评：此题考查了同角三角函数的基本关系、函数解析式的求法以及正弦函数的单调性等知识，综合性较强，属于中档题．