Question

由以下条件分别给出数列{a_n}：
（1）{3 an}是等比数列；（2）前n项和S_n=n²+2；
（3）a₁＞0，且a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）（k≥2）；（4）2a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2）；
以上能使{a_n}成等差数列的条件的序号是

（1），（3）

．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析所给的条件，对于（1），若{3 an}是等比数列，设其公比为q，利用等比数列的定义可得a_n-a_n-1=log₃q，则数列{a_n}为等差数列；对于（2），由其前n项和S_n=n²+2，求出数列{a_n}的前3项，即可得数列{a_n}不是等差数列；对于（3），对a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）变形可得（k-1）a_k=2S_k-1①，进而可得，（k-2）a_k-1=2S_k-2②，①-②可得，（k-1）a_k=ka_k-1，分析可得其符合等差数列的定义，则数列{a_n}为等差数列；对于（4），由2a_n+1=a_n+a_n-1可得a_n+1-a_n=a_n-1-a_n+1，分析可得其不符合等差数列的定义，则数列{a_n}不是等差数列；

解答：解：根据题意，
对于（1），若{3 an}是等比数列，设其公比为q，则有

3an

3an-1

=3an-an-1=q＞0，则a_n-a_n-1=log₃q，则数列{a_n}为等差数列；
对于（2），由其前n项和S_n=n²+2，可得a₁=3，a₂=S₂-S₁=3，a₃=S₃-S₂=5，不符合等差数列的定义，则数列{a_n}不是等差数列；
对于（3），a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）⇒（k-1）a_k=2S_k-1①，令k-1=k可得，（k-2）a_k-1=2S_k-2②，①-②整理可得，（k-1）a_k=ka_k-1，即

ak

k

=

ak-1

k-1

，
设

ak

k

=

ak-1

k-1

=m，变形可得a_n-a_n-1=m，符合等差数列的定义，则数列{a_n}为等差数列；
对于（4），由2a_n+1=a_n+a_n-1可得a_n+1-a_n=a_n-1-a_n+1，不符合等差数列的定义，则数列{a_n}不是等差数列；
故答案为（1）（3）．

点评：本题考查等差数列的确定，常见的方法有定义法、通项公式发、等差中项法等．