Question

（2007•浦东新区二模）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积；
（2）在（1）的条件下，求异面直线DE与CF所成的角．

Answer 1

分析：（1）因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，可得AB的值，可得正四棱锥E-ABCD的底面积S=|AB|2=

1

2

，且高h=

1

2

，从而求得正子体体积．
（2）记正方体为MNGH-M₁N₁G₁H₁，记棱MN中点为P，MM₁中点为Q，则PQ∥FC，DM₁∥PQ，所以DM₁∥FC，故异面直线DE与CF所成的角即为∠M₁DE．解三角形求得∠M₁DE的值．

解答：解：（1）因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，
所以|AB|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

．-------（2分）
故正四棱锥E-ABCD的底面积S=|AB|2=

1

2

，且高h=

1

2

，------（5分）
故正子体体积V=

1

3

Sh×2=

1

3

×

1

2

×

1

2

×2=

1

6

．---------（7分）
（2）记正方体为MNGH-M₁N₁G₁H₁，
记棱MN中点为P，MM₁中点为Q．-------（8分）
则PQ∥FC，DM₁∥PQ，所以DM₁∥FC．--------（10分）
异面直线DE与CF所成的角即为∠M₁DE．----------（11分）
又因为DE=DM1=EM1=

2

2

，故∠M₁DE=60°，--------（14分）
异面直线DE与CF所成的角为60°．

点评：本题主要考查求棱锥的体积，异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．