Question

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为    ；设F₁和F₂为双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为    ；经过抛物线y=的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若y₁+y₂=5，则线段AB的长等于    ．

Answer 1

【答案】分析：设正方形边长为2，设正方形中心为原点，设椭圆的标准方程，则可知c，的a和b的关系式，进而求得BC的中点坐标代入椭圆方程，得到a和b的另一关系式，最后联立求得a，则椭圆的离心率可得；画出图形，可得=，从而可求双曲线的离心率；利用抛物线的定义，即可确定AB的长．
解答：解：设正方形边长为2，设正方形中心为原点
则椭圆方程为
且c=
∴a²-b²=c²=2①
正方形BC边的中点坐标为（，）
代入方程得到②
联立①②解得a=
∴e==；
如图，∵=tan60°，
∴=，
∴4b²=3c²，
∴4（c²-a²）=3c²，
∴c²=4a²，
∴e==2；
经过抛物线y=的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则|AB|=y₁+y₂+2
∵y₁+y₂=5，∴|AB|=7
故答案为：，2，7．
点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．