Question

如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的
直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，
（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

Answer 1

(Ⅰ)． …………………6分
(Ⅱ)满足条件的点P的轨迹方程为或．…………………14分

(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：， ……………2分
∵，∴，
又得   ∴     ………………4分
∴，∴所求椭圆C的方程为． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则，, 由－4得－，
∴点P的轨迹方程为     …………………8分
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，
解得：，…………………10分
∵点在椭圆上，
∴，
整理得解得或 …………………12分
∴点P的轨迹方程为或，经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．…………………14分