Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
（1）证明：数列{|a_n-$\frac{1}{2}$|}为单调递减数列；
（2）记S_n为数列{|a_n+1-a_n|}的前n项和，证明：S_n＜$\frac{5}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）令$x=\frac{1}{2x+1}$，解得x=$\frac{1}{2}$或-1．可得$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}+1}$=$-\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}+1}$，利用等比数列的通项公式可得：$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}+1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n+1}$．解得${a}_{n}-\frac{1}{2}$，利用数列的单调性即可证明．
（2）a_n+1=$\frac{1}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．可得当a_n∈$（0，\frac{1}{2}]$时，a_n+1∈$[\frac{1}{2}，1）$．当a_n∈$[\frac{1}{2}，1]$时，a_n+1∈$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$⊆$（0，\frac{1}{2}]$．|a_n+1-a_n|=$\frac{2}{（1+2{a}_{n}）（1+2{a}_{n-1}）}$|a_n-a_n-1|．由于（1+2a_n）（1+2a_n-1）（n≥2）中，一个在[2，3）内，且另一个在$[\frac{5}{3}，2]$内．因此|a_n+1-a_n|≤$\frac{3}{5}$|a_n-a_n-1|．即可得出．

解答 证明：（1）令$x=\frac{1}{2x+1}$，化为2x²+x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$或-1．
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{\frac{1}{2{a}_{n}+1}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2{a}_{n}+1}+1}$=$-\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}+1}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}+1}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{4}$，公比为$-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{4}×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n+1}$．
解得${a}_{n}-\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}（-\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n+1}}$=$\frac{3}{2[（-2）^{n+1}-1]}$．
∴$|{a}_{n}-\frac{1}{2}|$=$\frac{3}{2|（-2）^{n+1}-1|}$，
当n为奇数时，|（-2）ⁿ⁺¹-1|=2ⁿ⁺¹-1；
当n为偶数时，|（-2）ⁿ⁺¹-1|=2ⁿ⁺¹+1．
∴2^2k-1+1-1=2^2k-1＜2^2k+1+1＜2^2k+1+1-1，
∴数列{|（-2）ⁿ⁺¹-1|}为单调递增数列，
∴$|{a}_{n}-\frac{1}{2}|$=$\frac{3}{2|（-2）^{n+1}-1|}$的单调递减，
∴数列{|a_n-$\frac{1}{2}$|}为单调递减数列．
（2）∵a_n+1=$\frac{1}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
∴当a_n∈$（0，\frac{1}{2}]$时，a_n+1∈$[\frac{1}{2}，1）$．当a_n∈$[\frac{1}{2}，1]$时，a_n+1∈$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$⊆$（0，\frac{1}{2}]$．
|a_n+1-a_n|=$\frac{2}{（1+2{a}_{n}）（1+2{a}_{n-1}）}$|a_n-a_n-1|．
由于（1+2a_n）（1+2a_n-1）（n≥2）中，一个在[2，3）内，且另一个在$[\frac{5}{3}，2]$内．
∴|a_n+1-a_n|≤$\frac{3}{5}$|a_n-a_n-1|．
∴|a_n+1-a_n|≤$（\frac{3}{5}）^{n-1}|{a}_{2}-{a}_{1}|$=$\frac{2}{3}（\frac{3}{5}）^{n-1}$．
∴S_n≤$\frac{2}{3}[1+\frac{3}{5}+（\frac{3}{5}）^{2}+…+（\frac{3}{5}）^{n-1}]$=$\frac{2}{3}×\frac{1-（\frac{3}{5}）^{n}}{1-\frac{3}{5}}$＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．