Question

18．（1）已知f（x-$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求f（3）的值：
（2）已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用凑配法求出f（x），即可求出f（3）；
（2）由于f（0）=0，可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．利用f（x+1）-f（x）=x+1，可得a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，化为（2a-1）x+a+b-1=0．此式对于任意实数x恒成立，因此2a-1=0且a+b-1=0，解出即可．

解答 解：（1）f（x-$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2，∴f（x）=x²+2，
∴f（3）=11；
（2）∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此2a-1=0且a+b-1=0，解得a=b=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查函数的解析式，考查待定系数法、凑配法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．