Question

设p：关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y=

ax2-x+a

的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用

a＞ △≤0

求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集．

解答：解：∵关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；
故命题p为真时，0＜a＜1；
∵函数y=

ax2-x+a

的定义域为R，
∴

a＞0 △=1-4a2≤0

⇒a≥

1

2

，
由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，则

0＜a＜1 a＜ 1 2

⇒0＜a＜

1

2

；
当q真p假时，则

a≥1或a≤0 a≥ 1 2

⇒a≥1，
综上实数a的取值范围是（0，

1

2

）∪[1，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了指数函数的单调性及一元二次不等式恒成立的条件，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时a的范围．