Question

7．已知函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）+2a²＜4a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$），再根据f（$\frac{1}{2}$）＜4a-2a² ，求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x＜-2}\\{-3x-1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，令f（x）=0，求得x=-$\frac{1}{3}$，或 x=3，
故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜-$\frac{1}{3}$，或x＞3}．
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）+2a²＜4a，即f（x₀）＜4a-2a² 有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=-3•$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{5}{2}$，故-$\frac{5}{2}$＜4a-2a² ，
求得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．