Question

6．某化工厂生产一种化工产品，据负责该产品生产的部门预算，当该产品年产量在50吨至300吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的部分对应数据大致如下表：

生产量x（单位：吨）	50	100	130	180	200	250	300
生产总成本y（单位：万元）	2750	2000	1750	1800	2050	2750	4050

（1）给出如下四个函数：
①y=ax²+b，②y=$\frac{1}{10}{x}^{2}+ax+b$，③y=a•b^x，④y=a•log_bx．根据上表数据，从上述四个函数中选取一个最恰当的函数描述y与x的变化关系，并通过表中前两组数据，求出y与x的函数解析式；
（2）根据你求出的函数解析式，试问当年产量为多少吨时，生产每吨的平均成本最低？每吨的最低成本是多少？
（3）若将每吨产品的出厂价定为16万元，则年产量为多少吨时，方可使得全年的利润最大？并求出全年的最大利润．

Answer 1

分析 （1）由所给数据，函数先减后增，对称轴是x=150，故最恰当的函数描述y与x的变化关系是②，通过表中前两组数据，求出y与x的函数解析式；
（2）生产每吨的平均成本$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{4000}{x}$-30，利用基本不等式，即可得出结论；
（3）L=16x-$\frac{{x}^{2}}{10}$+30x-4000=-$\frac{{x}^{2}}{10}$+46x-4000=-$\frac{1}{10}$（x-230）²+1290，即可求解．

解答 解：（1）由所给数据，函数先减后增，对称轴是x=150，故最恰当的函数描述y与x的变化关系是②，其函数解析式为y=$\frac{{x}^{2}}{10}$-30x+4000（50≤x≤300）；
（2）$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{4000}{x}$-30≥2$\sqrt{\frac{x}{10}•\frac{4000}{x}}$-30=10，当且仅当x=200吨时，生产每吨的平均成本最低，每吨的最低成本是10万元/吨；
（3）L=16x-$\frac{{x}^{2}}{10}$+30x-4000=-$\frac{{x}^{2}}{10}$+46x-4000=-$\frac{1}{10}$（x-230）²+1290，
∴x=230时，全年的利润最大，全年的最大利润为1290万元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．