【题目】已知函数f(x)= (a>0)
(1)若a=1,证明:y=f(x)在R上单调递减;
(2)当a>1时,讨论f(x)零点的个数.
【答案】
(1)当a=1时,且x≥1时,f(x)=lnx﹣x+1,
∴0恒成立,
∴f(x)在[1,+∞)单调递减,
当x<1时,f(x)=ex﹣1﹣x,
∴f′(x)=ex﹣1﹣1<0恒成立,
∴f(x)在(﹣∞,1)单调递减,
综上所述y=f(x)在R上单调递减
(2)解:当x≥a时,f(x)=lnx﹣ax+1=0,分别画出y=lnx,与y=ax﹣1的图象,如图所示:
∵y=ax﹣1过定点(0,﹣1),
设直线y=ax﹣1与y=lnx的切点为(m,n),
∴k=f′(m)= = ,f(m)=lnm=n
∴n=0,m=1,
由图象可知,x≥a时,且当a>1时,图象无交点,故f(x)无零点,
当x<a时,f(x)=ex﹣1+(a﹣2)x,
分别画出y=ex﹣1,与y=(2﹣a)x的图象,如图所示:
∵y=(2﹣a)x过定点(0,0),
由图象可知,当a>2时,图象有一个交点,故f(x)有一个零点,
当1<a≤2时,图象无交点,故f(x)无零点,
故x<a时,函数f(x)有一个零点,
综上所述,当a>2时,故f(x)有一个零点,当1<a≤2时,故f(x)无零点.
【解析】(1)分类讨论,根据导数和函数的单调性的关系即可证明;(2)利用数形结合法,分段讨论,即可求出函数的零点的个数.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系内,已知A(3,3)是⊙C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若⊙C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M,N的坐标分别为(﹣m,0)(m,0),则m的最大值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某气象站观测点记录的连续4天里, 指数与当天的空气水平可见度(单位)的情况如下表1:
哈尔滨市某月指数频数分布如下表2:
(1)设,根据表1的数据,求出关于的回归方程;
(参考公式: ,其中, )
(2)小张开了一家洗车店,经统计,当不高于200时,洗车店平均每天亏损约2000元;当在时,洗车店平均每天收入约4000元;当大于400时,洗车店平均每天收入约7000元;根据表2估计校长的洗车店该月份平均每天的收入.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)=kx+b的图象过点(2,1),且b2﹣6b+9≤0
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若a>0,解关于x的不等式x2﹣(a2+a+1)x+a3+3<f(x).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥 A﹣BCDE中,侧面△ADE为等边三角形,底面 BCDE是等腰梯形,且CD∥B E,DE=2,CD=4,∠CD E=60°,M为D E的中点,F为AC的中点,且AC=4.
(1)求证:平面 ADE⊥平面BCD;
(2)求证:FB∥平面ADE;
(3)求四棱锥A﹣BCDE的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的《海岛算经》中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高几何?” 意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为( )(注:3丈=5步,1里=300步)
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求⊙C的方程;
(2)设Q为⊙C上的一个动点,求 的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com