Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

Answer 1

(1)同解析（2）异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.（3）点A到平面PCD的距离d＝

解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)

由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由V_P-ACD=V_A-PCD，
得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：

（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x₀,y₀,x₀），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则　　n·＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,
n·＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　
取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝