Question

某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每生产x千件产品每年需另增加的可变成本为C（x）（单位：万元），且C（x）=

1 3 x2+10x(0＜x＜80，x∈N*) 51x+ 10000 x -1450(x≥80，x∈N*)

，每件产品的售价为500元，且假定该公司生产的产品能全部售出．
（Ⅰ）写出年利润L（x）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件即可建立年利润L（x）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）根据函数的表达式，利用基本不等式即可求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）当0＜x＜80，x∈N^*时，L(x)=

500×1000x

10000

-(

1

3

x2+10x)-150=-

1

3

x2+40x-150；
当x≥80，x∈N^*时，L(x)=

500×1000x

10000

-(51x+

10000

x

)-1450-150=1300-(x+

10000

x

)．
则L(x)=

- 1 3 x2+40x-150(0＜x＜80，x∈N*) 1300-(x+ 10000 x )(x≥80，x∈N*).

．
（Ⅱ）当0＜x＜80，x∈N^*时，L(x)=-

1

3

(x-60)2+40x+1050．
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=1050．
当x≥80，x∈N^*时，L(x)=1300-(x+

10000

x

)≤1300-2

x• 10000 x

=1100．
∴当x=

10000

x

，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1100．
综上，当x=100时，L（x）取得最大值1100，即年产量为100千件时，该公司所获利润最大．

点评：本题主要考查函数的应用，以及函数最值的求解，利用基本不等式的性质是解决本题的关键．