精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(Ⅰ)解不等式f(x)≤6;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|1-2a|有解,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)函数f(x)表示数轴上的x对应点到-
1
2
3
2
对应点的距离之和的2倍,而-1、2对应点到-
1
2
3
2
对应点的距离之和的2倍正好等于6,由此求得不等式f(x)≤6的解集.
(Ⅱ)根据绝对值不等式的性质,可得f(x)的最小值为4.因此,若不等式f(x)<|1-2a|的解集不是空集,则[f(x)]min<|1-2a|,即4<|1-2a|,解之即可得到实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|=2(|x+
1
2
|+|x-
3
2
|)表示数轴上的x对应点到-
1
2
3
2
对应点的距离之和的2倍,
而-1、2对应点到-
1
2
3
2
对应点的距离之和的2倍正好等于6,故不等式f(x)≤6的解集为[-1,2].
(Ⅱ)由于f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,故有|2a-1|>4,故有 2a-1>4,或 2a-1<-4,
解得 a<-
3
2
,或 a>
5
2
,故a的范围为(-∞,-
3
2
)∪(
5
2
,+∞).
点评:本题给出含有绝对值的函数,绝对值的意义,绝对值不等式的性质,着重考查了绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-5:不等式选讲
设x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1,求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【选修4-5:不等式选讲】
求下列不等式的解集
(Ⅰ)|2x-1|-|x+3|>0
(Ⅱ)x+|2x-1|>3.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-5:不等式选讲:
设正有理数x是
2
的一个近似值,令y=1+
1
1+x

(Ⅰ)若x>
2
,求证:y<
2

(Ⅱ)比较y与x哪一个更接近于
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•盐城模拟)(选修4-5:不等式选讲)
已知a,b,c为正数,且a2+a2+c2=14,试求a+2b+3c的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•乌鲁木齐一模)选修4-5:不等式选讲
设函数,f(x)=|x-1|+|x-2|.
(I)求证f(x)≥1;
(II)若f(x)=
a2+2
a2+1
成立,求x的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案