Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤6；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|1-2a|有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）表示数轴上的x对应点到-

1

2

和

3

2

对应点的距离之和的2倍，而-1、2对应点到-

1

2

和

3

2

对应点的距离之和的2倍正好等于6，由此求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4．因此，若不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，则[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|=2（|x+

1

2

|+|x-

3

2

|）表示数轴上的x对应点到-

1

2

和

3

2

对应点的距离之和的2倍，
而-1、2对应点到-

1

2

和

3

2

对应点的距离之和的2倍正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为[-1，2]．
（Ⅱ）由于f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，故有|2a-1|＞4，故有 2a-1＞4，或 2a-1＜-4，
解得 a＜-

3

2

，或 a＞

5

2

，故a的范围为（-∞，-

3

2

）∪（

5

2

，+∞）．

点评：本题给出含有绝对值的函数，绝对值的意义，绝对值不等式的性质，着重考查了绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．