Question

某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．
（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案

解答：解：（Ⅰ）设水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，
则有S1=

4800

3

=1600（平方米），
可知，池底长方形宽为

1600

x

米，则S2=6x+6×

1600

x

=6(x+

1600

x

)（5分）
（Ⅱ）设总造价为y，则y=150×1600+120×6(x+

1600

x

)≥240000+57600=297600
当且仅当x=

1600

x

，即x=40时取等号，
所以x=40时，总造价最低为297600元．
答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题