Question

已知点F（0，2）是抛物线x²=ay的焦点．
（1）求抛物线方程；
（2）若点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=1上一动点，直线l是圆在点P处的切线，直线l与抛物线相交于A，B两点（A，B在y轴的两侧），求平面图形OAFB面积的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点F（0，2）是抛物线x²=ay的焦点，求出a，即可求抛物线方程；
（2）确定0＜y₀＜1，|x₁-x₂|≥4

2

，即可求平面图形OAFB面积的最小值．

解答： 解：（1）∵点F（0，2）是抛物线x²=ay的焦点，
∴a=8，
∴抛物线方程为x²=8y…．（2分）
（2）联立直线l与抛物线方程可得y₀x²+8x₀x-8=0，
由题意可得-

8

y0

＜0，故0＜y₀＜1，…..（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=

-8x0

y0

，x₁x₂=-

8

y0

，且x₀²+y₀²=1，…（10分）
∴|x₁-x₂|²=

64x02

y02

+

32

y0

=32[2(

1

y0

+

1

4

)2-

17

8

]≥32，…．（14分）
当且仅当y₀=1时取“=”，
∴|x₁-x₂|≥4

2

，
∴S=

1

2

|OF||x₁-x₂|≥4

2

，…..（15分）
即平面图形OAFB面积的最小值为4

2

，…..（16分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．