Question

【题目】如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明： ；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1），根据正方体的性质可证明面，从而根据线面垂直的性质可得；（2）取 中点 ，连接，因为 是 的中点，由是平行四边形，可得，设与相交于点H，则是与所成的角，利用三角形相似可得与所成的角是；（3）由（1）、（2）可得， ，所以平面AED，从而得结论.

试题解析：（1）因为平面，所以;

（2）取AB中点G，连接，因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，可证是平行四边形，所以，设与相交于点H，则是与所成的角，因为E是的中点，所以，即与所成的角是；

（3）由上可知， ，所以平面AED，从而得平面平面.

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及线面垂直的性质与面面垂直的判定，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.