Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

5

2

．
（B）（选修4-5不等式选讲）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则

x+2y

xy

的最小值是

9

．
（C）（选修4-1几何证明选讲）若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，则△ABC的面积为

2

．

Answer 1

分析：（A）把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心（0，1）到直线的距离，此距离减去半径即为所求．
（B）先对

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

再将它乘以1结果保持不变，将2x+y=1看为一个整体代入得（

1

y

+

2

x

）×1=（

1

y

+

2

x

）×（2x+y），再展开后运用基本不等式可求得最小值．
（C）设内切圆半径为r，由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，可得r²+3r=2，再根据△ABC的面积为

1

2

×（1+r）（2+r），运算求得结果．

解答：解：（A）曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，直线ρsin（θ+

π

3

）=4化为直角坐标方程为

3

x+y-8=0．
圆心（0，1）到直线的距离为 d=

|0+1-8|

3+1

=

7

2

．则圆上的点到直线的最小距离为

7

2

-1=

5

2

．
即点A到直线ρsin（θ+

π

3

）=4的最小距离为

5

2

．
（B）解：∵2x+y=1，
∴

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=（

1

y

+

2

x

）×（2x+y）=5+

2x

y

+

2y

x

≥5+4=9
当且仅当

2x

y

=

2y

x

时等号成立，
则

x+2y

xy

的最小值是 9．
（C）由于直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，设内切圆半径为r，
则由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，∴r²+3r=2．
△ABC的面积为

1

2

×（1+r）（2+r）=

1

2

（r²+3r+2）=2，
故答案为：

5

2

；9；2．

点评：A：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．
B：本题考查基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”的要求．
C：本题主要考查绝对值不等式的解法，直线和圆相交的性质，圆的切线性质、圆的参数方程，以及三角形中的几何计算，属于中档题．