Question

（2012•泰安一模）已知数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13．数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，试比较c_n与c_n+1的大小．

Answer 1

分析：（Ι）由数列{a_n}为等差数列，根据a₂=5，a₄=13，利用等差数列的性质求出公差d的值，进而由a₂及d的值，可得出等差数列{a_n}的通项公式，当n=1时，T₁=b₁，根据T_n+b_n=3①，得到b₁的值，再由数列的递推式得到T_n-T_n-1=b_n，由T_n-1+b_n-1=3，记作②，①-②得到b_n=

1

2

b_n-1，可确定出此数列为公比为

1

2

的等比数列，写出{b_n}的通项公式即可；
（II）将第一问得到的数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•b_n，整理后，表示出c_n-c_n-1，令c_n-c_n-1=0，求出n的值，可得出c_n-c_n-1大于0及小于0时n的范围，进而得出n为1或2时，c_n＞c_n-1；当n≥3时，c_n＜c_n-1．

解答：解：（Ι）∵数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13，
∴公差d=

a4-a2

2

=4，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4n-3，
∵数列{b_n}的前n项和是T_n，T_n+b_n=3①，
∴当n=1时，T₁=b₁，即b₁=

3

2

；
当n≥2时，T_n-T_n-1=b_n，由题意可得T_n-1+b_n-1=3②，
①-②得：2b_n-b_n-1=0，即b_n=

1

2

b_n-1，即公比q=

1

2

，
∴b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1；
（II）∵a_n=4n-3，b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-3）•

3

2

•（

1

2

）^n-1=（6n-

9

2

）•（

1

2

）^n-1，
令c_n-c_n+1=（6n-

9

2

）•（

1

2

）^n-1-（6n+6-

9

2

）•（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）^n-1（6n-

9

2

-3n-3+

9

4

）=（

1

2

）^n-1（3n-

21

4

）=0，
解得：n=

21

12

，
则n=2时，c_n＞c_n+1；当n≥3时，c_n＜c_n+1．

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的确定，等差、等比数列的通项公式，以及作差法的运用，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．