Question

13．如图，已知四边形ABCD是椭圆3x²+4y²=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F₁，F₂．
（Ⅰ）若直线AC的方程为x-2y=0，求AC的长；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．
（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．
②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用韦达定理，连结AF₁，DF₁，表示出面积表达式，然后求解最值．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由$\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，消去y可得：4x²=12，解得$x=±\sqrt{3}$，（2分）
所以A，C两点的坐标为$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$和$（-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，（4分）
所以 $|{AC}|=\sqrt{{{（2\sqrt{3}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{15}$．（5分）
（Ⅱ）解：①当直线AD的斜率不存在时，
此时易得$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（-1，\frac{3}{2}）$，$C（-1，-\frac{3}{2}）$，$D（1，-\frac{3}{2}）$，
所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|AD|=6．（6分）
②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x-1），
将其代入椭圆方程，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则 ${x_1}+{x_4}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_4}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．（10分）
连结AF₁，DF₁，
则平行四边形ABCD的面积$S=2{S_{△A{F_1}D}}=\;|{F_1}{F_2}||{y_1}-{y_4}|\;=2|{y_1}-{y_4}|$．（11分）
又 ${（{y_1}-{y_4}）^2}={k^2}{（{x_1}-{x_4}）^2}={k^2}[{（{x_1}+{x_4}）^2}-4{x_1}{x_4}]$=$9×\frac{{16{k^2}（{k^2}+1）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}$．（13分）
又（3+4k²）²-16k²（k²+1）=9+8k²，
所以 $S=6\sqrt{\frac{16{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}=6\sqrt{1-\frac{9+8{k}^{2}}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}＜6$．
综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6．（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．