Question

已知椭圆：（a>b>0）的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P（2, ）满足|PF₂|=|F₁F₂|，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A、 B．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数l的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆方程为．
（Ⅱ）实数的取值范围是．

解：（Ⅰ）依题意有
解得　　．
所求椭圆方程为． ………………………………………………5分
（Ⅱ）由得．
设点、的坐标分别为、，
则  ………………7分,．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得      即
   点在椭圆上，有，
化简，得．
，有……①…10分
又，
由，得……②　…12分
由①、②两式得．，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．…………………14分