Question

已知二次函数f(x)＝x²－ax＋a(x∈R)同时满足：

①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；

②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f(x₁)＞f(x₂)成立，设数列{a_n}的前n项和S_n＝f(n)．

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i·c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令(n∈N^*)，求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵不等式≤0的解集有且只有一个元素 　　∴　解得或　　2分 　　当时，函数在递增，不满足条件② 　　当时，函数在(0，2)上递减，满足条件② 　　综上得，即　　5分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知 　　当时， 　　当≥2时＝＝ 　　∴　　9分 　　(Ⅲ)由题设可得　　11分 　　∵，，∴，都满足 　　∵当≥3时， 　　即当≥3时，数列{}递增， 　　∵，由，可知满足 　　∴数列{}的变号数为3　　14分