Question

如图，AE⊥平面DEC，四边形ABCD为正方形，M，N分别是线段BE、DE中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）若

AE

EC

=

1

3

，求EC与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出MN∥BD，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ABCD．
（2）先证明出CD⊥平面ADE，找到线与面所成的角，求出AD，再求得sin∠CED．

解答： （1）证明：连接BD，
∵M，N分别是BE，DE的中点，
∴MN∥BD，
∵BD?平面ABCD，NM?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AE⊥平面EDC，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，
故∠CED即为所求角，
设AE=1，AD=a，则EC=3，
由DE²=AD²-AE²=EC²-DC²，得a²-1=9-a²，
∴a=

5

，
则CD=AD=

5

，在△CDE中，sin∠CED=

CD

CE

=

5

3

．

点评：本题主要考查了线面平行判定定理，线面所成的角．解决线面成角的问题，关键是找到线面成角的平面角．