【题目】已知函数满足
,对于任意
都有
,且
,另
(1)求函数的表达式;
(2)当时,求函数
的单调区间;
(3)当时,判断函数
在区间
上的零点个数,并给予证明.
【答案】(1);
(2)当时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(3)当时,函数
在区间
上只有一个零点,证明见解析.
【解析】
(1)先由,得
,由
,得出对称轴方程为
,于是得出
,再由
得出不等式
对任意
恒成立,于是得出
,从而解出
、
的值,进而得出函数
的解析式;
(2)先将函数表示成分段函数的形式,考查对称轴与相应定义域的位置关系,结合二次函数的性质得出函数
的单调区间;
(3)利用(2)中函数的单调性,结合单调性与零点存在定理得出函数
的零点个数.
(1),
,
对于任意
都有
,
函数
的对称轴为
,即
,得
.
又,即
对于任意
都成立,
且
,又
,
,
.
;
(2).
① 当时,函数
的对称轴为
,
若,则
,函数
在
上单调递增;
② 当时,函数
的对称轴为
,
则函数在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述,当时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(3)当时,由(2)知函数
在区间
上单调递增,
又,
,故函数
在区间
上只有一个零点.
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【题目】已知椭圆的右焦点是抛物线
的焦点,直线
与
相交于不同的两点
.
(1)求的方程;
(2)若直线经过点
,求
的面积的最小值(
为坐标原点);
(3)已知点,直线
经过点
,
为线段
的中点,求证:
.
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【题目】对于数列,定义
,
.
(1) 若,是否存在
,使得
?请说明理由;
(2) 若,
,求数列
的通项公式;
(3) 令,求证:“
为等差数列”的充要条件是“
的前4项为等差数列,且
为等差数列”.
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【题目】现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为,总重量为
.其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米).
(1)这堆螺帽至少有多少个;
(2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材0.11千克,共需要多少千克防腐材料(结果精确到0.01)
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【题目】“团购”已经渗透到我们每个人的生活,这离不开快递行业的发展,下表是2013-2017年全国快递业务量(x亿件:精确到0.1)及其增长速度(y%)的数据
(1)试计算2012年的快递业务量;
(2)分别将2013年,2014年,…,2017年记成年的序号t:1,2,3,4,5;现已知y与t具有线性相关关系,试建立y关于t的回归直线方程;
(3)根据(2)问中所建立的回归直线方程,估算2019年的快递业务量
附:回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为:,
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【题目】已知椭圆方程为.
(1)设椭圆的左右焦点分别为、
,点
在椭圆上运动,求
的值;
(2)设直线和圆
相切,和椭圆交于
、
两点,
为原点,线段
、
分别和圆
交于
、
两点,设
、
的面积分别为
、
,求
的取值范围.
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【题目】某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);
(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.
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