Question

已知函数f(x)=x²,g(x)=|x-2|.

(1)解不等式f(x)＞g(x);

(2)设函数f(x)的图象为C₁,g(x)的图象为C₂,l是和曲线C₁相切且与曲线C₂无公共点的直线,求直线l的斜率的取值范围.

Answer 1

解法一:(1)∵f(x)=x²,g(x)=|x-2|,在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,

?

解方程组得A(-2,4),B(1,1),                                                            ?

∴不等式f(x)＞g(x)的解集为函数f(x)的图象C₁位于函数g(x)的图象C₂的上方时,自变量x的取值范围,即为{x|x＜-2或x＞1}.?

综上可得,原不等式的解集为{x|x＜-2或x＞1}.                                                 

?

(2)如图所示,设直线l为曲线C₁的切线,切点为C.当切线l的斜率为-1时,切线l与曲线C₂

无公共点,                                                                                                               ?

此时,若让切线l按逆时针方向沿曲线C₁运动至坐标原点O时,切线l与曲线C₂恰有一个公共点D,由此可得,当切线l的斜率k∈［-1,0）时,直线为l与曲线C₂无公共点.    ?

解法二:(1)∵f(x)=x²,g(x)=|x-2|,f(x)≥g(x),x²＞|x-2|,??

当x≤2时,得x²＞2-x,解得x＜-2或1＜x≤2;                                                               ?

当x＞2时,得x²＞x-2,解得x＞2.                                                                              ?

综上可得,原不等式的解集为{x|x＜-2或x＞1}.                                                  ?

(2)∵f′(x)=2x,直线l与曲线C₁相切时的切点为M(x₀,x₀²),则直线l的方程为y-x₀²=2x₀

(x-x₀),即y=2x₀x-x₀²,又直线l与曲线C₂无公共点,则需满足方程组无解,

即方程2x₀x-x₀²=|x-2|无解.                                                                                 ?

当x≥2时,方程2x₀x-x₀²=|x-2|可化为2x₀x-x₀²=x-2,即(2x₀-1)x=x₀²-2,               ①?

若x₀=,方程①无解;?

若x₀≠,则方程①无解需满足不等式＜2,由此解得x₀＜0或＜x₀＜4.?

∴方程①无解的条件是x₀＜0或≤x₀＜4.?

当x＜2时,方程2x₀x-x₀²=|x-2|可化为2x₀x-x₀²=2-x,即(2x₀+1)x=x₀²+2,            ②?

若x₀=-,方程②无解;?

若x₀≠-,则方程②无解需满足不等式≥2,由此解得-＜x₀≤0或x₀≥4.?

∴方程②无解的条件是-≤x₀≤0或x₀≥4.?

综上可得,方程2x₀x-x₀²=|x-2|无解的条件是-≤x₀＜0.?

故f′(x₀)=2x₀的取值范围是［-1,0）,即直线l的斜率的取值范围是［-1,0）.