Question

已知函数 f（x）的导数．f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．
（1） 若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；
（2） 在（1）的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知的f（x）的导函数的解析式及f（0）=b，表示出f（x）的解析式，令导函数等于0，求出x的值，根据a的范围，检验得到满足题意的x的值，在闭区间[-1，1]上，根据x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性分别求出函数f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值和最小值，又最小值、最大值分别为-2、1，即可求出a与b的值；
（2）由（1）求出的a与b代入得到f（x）的解析式及导函数的解析式，把点P的横坐标代入导函数中即可求出切线的下课，根据切点和求出的斜率写出切线l的方程即可．
解答：解：（1）由已知f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
得f（x）=x³-ax²+b，
由f′（x）=0即3x²-3ax=3x（x-a），解得x=0或x=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1，
又f（1）=1-a+1，f（-1）=-1-a+1=-a，∴f（-1）＜f（1）
由题意得最小值为f（-1）=-2，即-a=-2，解得a=．
故a=，b=1为所求；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，
点P（2，1）在曲线f（x）上，
当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（x）_|x=2=4，
∴切线l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道中档题．