Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；
（2）f（x₀）=

16

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）═2sin（2x+

π

6

）+2，再根据正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调减区间．
（2）由f（x₀）=

16

5

，求得sin（2x₀+

π

6

）的值，可得cos（2x₀+

π

6

）的值，再根据 cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+1=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，故函数的减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）∵f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）+2=

16

5

，∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=-

4 3 +3

10

．

点评：本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式，属于基础题．