Question

甲，乙两队各有3名队员，投篮比赛时，每个队员各投一次，命中率均为

1

2

，
（1）设前n（n=1，2，3，4，5，6）个人的进球总数与n之比为a_n，求满足条件a₆=

1

2

，且a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5）的概率；
（2）设甲，乙两队进球数分别为i，j（i，j∈{0，1，2，3}），记ξ=|i-j|，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）a₆=

1

2

，即6个人投篮进了3个球，又a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5），则有两种情况：第一，第1人投篮没投进，第2人投篮投进了，第3人投篮没投进，第4、5人总共投进了1个球，第6人投篮投进了，求出概率P₁，第二，第1人投篮没投进，第2人投篮没投进，第3、4、5人总共投进了2个球，第6人投篮投进了，求出概率为P₂，根据互斥事件的概率公式可求出所求概率为P=P₁+P₂；
（2）ξ的取值可能为0，1，2，3，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）a₆=

1

2

，即6个人投篮进了3个球，
又a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5），则有两种情况：
第一，第1人投篮没投进，第2人投篮投进了，第3人投篮没投进，第4、5人总共投进了1个球，第6人投篮投进了，其概率为P₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

×C₂¹（

1

2

）²×

1

2

=

1

32

第二，第1人投篮没投进，第2人投篮没投进，第3、4、5人总共投进了2个球，第6人投篮投进了，其概率为P₂=

1

2

×

1

2

×C₃²（

1

2

）³×

1

2

=

3

64

从而，所求概率为P=P₁+P₂=

5

64

（2）ξ的取值可能为0，1，2，3
P（ξ=0）表示两队进球数相同，即有
P（ξ=0）=（

1

2

）³×（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×C₃¹（

1

2

）³+C₃²（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+（

1

2

）³×（

1

2

）³=

5

16

P（ξ=1）=2[（

1

2

）³×C₃¹（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+C₃²（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

15

32

P（ξ=2）=2[（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

3

16

P（ξ=3）=2[（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

1

32

ξ	0	1	2	3
P	5 16	15 32	3 16	1 32

∴Eξ=0×

5

16

+1×

15

32

+2×

3

16

+3×

1

32

=

15

16

点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的期望和分布列，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．