Question

（理）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，设

PE

EC

=λ，PA=AB．
（I）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）当λ为何值时，PC⊥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B-PC-A的平面角大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BD⊥PC，只要证BD垂直于PC所在的平面PAC即可，由已知底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，利用线面垂直的判定即可得证；
（Ⅱ）由PC⊥平面BDE，得到PC⊥OE，利用直角三角形相似即可求出EC，从而求得λ的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，直接解直角三角形即可得到答案．

解答：（Ⅰ）证明，如图，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）解：若PC⊥平面BDE，则PC⊥OE，
∴△PAC∽△OEC，
∵底面ABCD为正方形，PA=AB，
设PA=AB=a，则AC=

2

a，OC=

2

2

a，PC=

a2+2a2

=

3

a．
∴

AC

PC

=

EC

OC

，即

2 a

3 a

=

EC

2 2 a

，∴EC=

3

3

a．
则λ=

PE

EC

=

PC-EC

EC

=

2 3 3 a

3 3 a

=2．
所以，当λ等于2时，PC⊥平面BDE；
（Ⅲ）解：当PC⊥平面BDE时，∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，
在Rt△CEO中，OE=

OC2-EC2

=

( 2 2 a)2-( 3 3 a)2

=

6

6

a．
在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

2 2 a

6 6 a

=

3

．
所以∠BEO=

π

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了二面角的平面角的求法，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．