Question

17．已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人．（以下问题用数字作答）
（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？
（2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．

Answer 1

分析 （1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，相加即得所求；
（2）所有的安排方法共有A₆⁶种，求得甲参加第一项活动的方法有A₅⁵种，乙参加第三项活动的方法有A₅⁵种，甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有A₄⁴种，问题得以解决；
（3）这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员，6人可以分为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三组，再分配到三项不同活动中，其中丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中，共有2C₃¹A₃³种，根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，$C_6^1+C_6^2+…+C_6^6={2^6}-1=63$
故共有63种不同的去法  …（4分）
（2）所有的安排方法共有A₆⁶种，求得甲参加第一项活动的方法有A₅⁵种，乙参加第三项活动的方法有A₅⁵种，甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有A₄⁴种，
即为所求$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=720-240+24=504$
故共有504种不同的安排方法…（8分）
（3）这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员，6人可以分为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三组，再分配到三项不同活动中，
共有C₆³A₃³+C₆¹C₅²A₃³+C₆²C₄²种，其中丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中，共有2C₃¹A₃³种，
故$P=\frac{2C_3^1A_3^3}{C_6^4A_3^3+C_6^1C_5^2A_3^3+C_6^2C_4^2}=\frac{1}{15}$
故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为$\frac{1}{15}$…（12分）

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排，体现了分类讨论的数学思想．当直接解的情况比较复杂时，可以考虑用间接解法，是一个中档题目