Question

【题目】阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
令α+β=A，α﹣β=β　有α= ，β= 代入③得　sinA+sinB=2sin cos ．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinA+sinB=2sin cos ，

∴sin15°+cos75°=2sin cos ，

=2sin45°cos（﹣30°）= ，

∴sin15°+cos75°=

（2）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

①+②得cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，③

令α+β=A，α﹣β=B 有α= ，β= ，

代入③得：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．

∴cosA﹣cosB=﹣2sin cos

【解析】（1）令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值；（2）由cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ两式相加得：cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α﹣β=B 有α= ，β= ，可得结论；
【考点精析】掌握类比推理是解答本题的根本，需要知道根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理．