Question

一个棱长均为a的正三棱柱内接于球，则该球的表面积为（　　）

• A．

  7

  3

  πa2
• B．2πa²
• C．

  11

  4

  πa2
• D．

  4

  3

  πa2

Answer 1

分析：作出示意图，可得外接球的球心是上下底面的中心的连线，结合等边△ABC的性质求出AO₁的长，在Rt△O₁OA利用勾股定理，可计算出外接球的半径R，从而可求球的表面积．

解答：解：设正三棱柱上下底面的中心分别为O₁、O₂，则外接球的球心是O₁O₂的中点O
Rt△O₁OA中，O₁O=

a

2

，AO₁=

3 a

3

，
∴AO=

AO12+O1O2

=

7 12

a
即外接球的半径R=

7 12

a
∴该球的表面积为4π×

7

12

a2=

7

3

πa2
故选A．

点评：本题考查了球内接多面体的性质，考查了空间想象能力，属于基础题．