Question

已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B、B与C的球面距离都是πcm，A与C的球面距离为

4π

3

cm，那么三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A、

  2 3

  3

  cm³
• B、2

  3

  cm³
• C、

  4 3

  3

  cm³
• D、4

  3

  cm³

Answer 1

分析：由题设

AB

，

BC

所对的球心角都是

π

2

，

AC

所对的球心角为

2π

3

，OA，OB，OC的长度都是半径，可作出如图的三棱锥，依据图形求体积．

解答：解：由题设

AB

，

BC

所对的球心角都是

π

2

，

AC

所对的球心角为

2π

3

，
OA，OB，OC的长度都是半径，可作出如图的三棱锥，
由图知V_O-ABC=V_B-AOC=

1

3

×OB×

1

2

OA×OC×cos∠AOC=

1

3

×2×

1

2

×2×2×cos

2π

3

=

2 3

3

cm³
故应选A．

点评：本题考查求三棱锥的体积，解题过程中用到了换顶点的技巧，换顶点的目的是为了更方便用体积公式求值，立体几何中求体积时注意使用这一技巧．