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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如右图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含个小正方形.

(1)求出的值;

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出之间的关系式,并根据你得到的关系式求出的表达式;

(3)求的值。

 

【答案】

(1)41;(2)2n2-2n+1;(3).

【解析】本试题主要考查了数列的递推关系式的运用,以及运用数列的裂项求和的综合运用。

解: (1)f(5)=41.

(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,

f(5)-f(4)=16=4×4,

 ……

由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.

因为f(n+1)-f(n)=4nf(n+1)=f(n)+4n

f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)

f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…[来

f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.

(3)当n≥2时,(),

+…+=1+·(1-+…+)

=1+(1-)=.

 

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f(n)=2n2-2n+1

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61

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(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;
(3)求
1
f(1)
+
1
f(2)-1
+
1
f(3)-1
+…+
1
f(n)-1
的值.

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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(Ⅰ)求出f(5);
(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.

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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形,则  

 

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