Question

对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则m的取值范围是

(0，

1

4

)

．

Answer 1

分析：根据题意确定函数的解析式为  f（x）=

x2-x ， x≤0 -x2+x ＞0

，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．

解答：解：由 2x-1≤x-1 可得 x≤0，由 2x-1＞x-1 可得 x＞0．
∴根据题意得f（x）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1) ， x≤0 (x-1)2-(2x-1)(x-1) ，x＞0

．
即 f（x）=

x2-x ， x≤0 -x2+x ＞0

，
画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，
函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．
再根据函数的极大值为f（

1

2

）=

1

4

，
可得m的取值范围是（0，

1

4

 ），
故答案为 （0，

1

4

）．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．