Question

（2012•马鞍山二模）下面四个命题：
①命题“?x∈R，使得x²+x+l＜0”的否定是真命题；
②一组数据18，21，19，a，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；
③已知直线l₁：a²x-y+6=0与l₂：4x-（a-3）y+9=0，则l₁⊥l₂的必要条件是a=-1：
④函数f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有两个零点x₁、x₂，则一定有0＜x₁x₂＜1．
其中真命题是

①②④

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：①根据命题“?x∈R，使得x²+x+l＜0”是假命题，其否定为真命题，从而得到答案．
②先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差公式计算．
③根据l₁⊥l₂ ，斜率之积等于-1可得a²×

4

a-3

=-1，由此求得a的值．
④先将f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2^-x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到-2^-x₁=lgx₁和2^-x₂=lg x₂，然后两式相加即可求得x₁x₂的范围．

解答：解：①∵命题“?x∈R，使得x²+x+l＜0”是假命题
∴否定命题真命题；正确；
②：a=5×20-1（8+21+19+22）=20，
s²=

1

5

[（18-20）²+（21-20）²+（19-20）²+（20-20）²+（22-20）²]=2．
③∵l₁⊥l₂ ，∴a²×

4

a-3

=-1，4a²+a-3=0，解得 a=3或-1．故③不正确；
④：f（x）=|lgx|-（

1

2

）^x有两个零点x₁，x₂
即y=|lgx|与y=2^-x有两个交点
由题意x＞0，分别画y=2^-x和y=|lgx|的图象
发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点
不妨设 x₁在（0，1）里 x₂在（1，+∞）里
那么 在（0，1）上有 2^-x₁=-lgx₁，即-2^-x₁=lgx₁…①
在（1，+∞）有2^-x₂=lg x₂…②
①②相加有2^-x₂-2^-x₁=lgx₁x₂
∵x₂＞x₁，∴2^-x₂＜2^-x₁ 即2^-x₂-2^-x₁＜0
∴lgx₁x₂＜0
∴0＜x₁x₂＜1．正确．
故答案为：①②④．

点评：考查命题、统计、逻辑、函数零点、指对数函数性质等，较难题．