Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）解不等式f（x）＜ ；
（2）求函数f（x）值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：将f（x）的解析式代入不等式得：

＜ ，

整理得：34x﹣3＜4x+1，即4x=22x＜2=21，

∴2x＜1，

解得：x＜ ，

则不等式的解集为{x|x＜ }

（2）解：法一：f（x）= =1+ ，

∵4x＞0，∴4x+1＞1，

∴﹣2＜ ＜0，

∴﹣1＜1+ ＜1，

则f（x）的值域为（﹣1，1）；

法二：∵y=f（x）= ，

∴4x= ＞0，即 ＜0，

可化为： 或 ，

解得：﹣1＜y＜1，

则f（x）的值域为（﹣1，1）

【解析】（1）把f（x）的解析式代入不等式，整理后得到关于4x的不等式，把不等式左右两边化为底数为2的幂形式，根据指数函数为增函数，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集；（2）法一：把函数解析式整理为f（x）=1+ ，由4x大于0，得到4x+1的范围，可得到 的范围，进而确定出1+ 的范围，即为函数f（x）的值域；
法二：设y=f（x），从函数解析式中分离出4x ， 根据4x大于0列出关于y的不等式，变形后得到y+1与y﹣1异号，转化为两个一元一次不等式，求出不等式的解集，即为函数的值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．