【题目】如图 ,在四棱锥中, , , 为棱的中点, .
(1)证明: 平面;
(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由已知条件得, ,再根据线面垂直判定定理得平面;(2)利用空间向量研究线面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,利用方程组求平面一个法向量,再利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系确定直线与平面所成角的正弦值.
试题解析:(1)证明:由已知, ,
又,即,
且 ,
∴平面 .
(2)∵平面 ,∴为二面角的平面角,从而.
如图所示,在平面内,作, 以为原点,分别以所在直线为轴, 轴建立空间直角坐标系,
设,则,
∴.
设平面的法向量,
则,取,则.
设直线与平面所成角为,
则 .
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】已知数列、,其中, ,数列满足,,数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)是否存在自然数,使得对于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;
(3)若数列满足,求数列的前项和.
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【题目】如图,甲船以每小时15 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行40分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西45°方向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?
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【题目】已知等差数列{an}满足a4=5,a2+a8=14,数列{bn}满足b1=1,bn+1=2 bn .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{ }的前n项和;
(3)若cn=an( ) ,求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】直线过点P(﹣3,1),且与x轴,y轴分别交于A,B两点.
(Ⅰ)若点P恰为线段AB的中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)若 = ,求直线l的方程.
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【题目】已知函数f(x)=2cos(x+ )[sin(x+ )﹣ cos(x+ )].
(1)求f(x)的值域和最小正周期;
(2)若对任意x∈[0, ],[f(x)+ ]﹣2m=0成立,求实数m的取值范围.
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