Question

选做题：请考生从22、23、24题中任选一题作答，并在答题卡上把所选题目的题号用2B铅笔涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．
如图，已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点，且CF=CB，过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D．
（1）证明：CD为圆O的切线；
（2）若AD=3，AB=4，求AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平行线的判定和性质定理、切线得出判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用相似三角形的性质定理即可求出．
解答：（Ⅰ）证明：∵CF=CB，∴∠CAF=∠CAB．
∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠ACO，∴AF∥OC．
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC．
∴CD为圆O的切线．
（Ⅱ）解：连接BC，由（Ⅰ）知∠CAD=∠CAB．
又∠CDA=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．
∴．
∴AC²=AD•AB=12，∴．
点评：熟练掌握平行线的判定和性质定理、切线得出判定定理、相似三角形的性质定理是解题的关键．