Question

已知抛物线y²=4x与直线y=2x+b相交于A，B两点，|AB|=3

5

．
（1）求b的值；
（2）设P 是x轴上的一点，当△PAB的面积为39时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可求|AB|，即可得到结论；
（2）求出P到AB的距离，利用△PAB的面积为39，建立方程，即可求点P的坐标．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由抛物线y²=4x与直线y=2x+b，可得4x²+4（b-1）x+b²=0，
△=16（b-1）²-16b²＞0，∴b＜

1

2

．
又由韦达定理有x₁+x₂=1-b，x₁x₂=

b2

4

，
∴|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5(1-2b)

，
即

5(1-2b)

=3

5

，∴b=-4．
（2）设x轴上点P（x，0），P到AB的距离为d，则
d=

|2x-0-4|

5

=

|2x-4|

5

，
∴S_△PBC=

1

2

•3

5

•

|2x-4|

5

=39，
∴|2x-4|=26，
∴x=15或x=-11，
∴P（15，0）或（-11，0）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形面积，考查学生的计算能力，属于中档题．